Question

如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2

2

，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线的性质，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；
（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2

2

，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OC-OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE，再由AE=AC-CE可得AE的值．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
而∠ODB=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
而∠ECD=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD；

（2）解：∵AB=2，
∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2

2

，
∴OC=

OA2+AC2

=3，
∴CD=OC-OD=3-1=2，
∵△CDE∽△CAD，
∴

CD

CE

=

CA

CD

，即

2

CE

=

2 2

2

，
∴CE=

2

．
∴AE=AC-CE=2

2

-

2

=

2

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．