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    如图1，抛物线y=ax2+bx-1经过A（-1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．
    （1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．
    （2）如图1，当点P的横坐标为
    2
    3
    时，求证：△OBD∽△ABC．
    （3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．
    （4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．
    考点：二次函数综合题,相似三角形的判定与性质
    专题：压轴题,分类讨论
    分析：（1）待定系数法即可求得；
    （2）先把P点的横坐标代入直线y2=
    1
    2
    x-1    ，求得DE=
    2
    3
    ，从而求得DE=OE，得出∠EOD=45°，因为∠OAC=∠EOD=45°，∠OBD=∠ABC，即可求得△OBD∽△ABC；
    （3）分三种情况：当OD=CD时，则
    5
    4
    m2-m+1=
    5
    4
    m2，当OD=OC时，则
    5
    4
    m2-m+1=1，当OC=CD时，则
    5
    4
    m2=1，分别求解，即可求得．
    解答：解：（1）由抛物线y=ax2+bx-1可知C（0，-1），
    ∵y=ax2+bx-1经过A（-1，0）、B（2，0）两点，
    ∴
    a-b-1=0
    4a+2b-1=0
    ，
    解得
    a=
    1
    2
    b=-
    1
    2

    ∴抛物线表达式：y1=
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x-1    ；
    设直线BC的解析式为y=kx+b，
    则
    2k+b=0
    b=-1
    ，
    解得
    k=
    1
    2
    b=-1
    ．
    ∴直线BC的表达式：y2=
    1
    2
    x-1    ．

    （2）如图1，当点P的横坐标为
    2
    3
    时，把x=
    2
    3

    代入y2=
    1
    2
    x-1    ，
    得y2=
    1
    2
    ×
    2
    3
    -1=-
    2
    3
    ，
    ∴DE=
    2
    3

    又∵OE=
    2
    3
    ，
    ∴DE=OE
    ∵∠OED=90°
    ∴∠EOD=45°
    又∵OA=OC=1，∠AOC=90°
    ∴∠OAC=45°
    ∴∠OAC=∠EOD
    又∵∠OBD=∠ABC
    △OBD∽△ABC．

    （3）如图2，设点P的坐标为P（x，
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x-1    ）
    ∴OE=x，PE=|
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x-1|    =-
    1
    2
    x2+
    1
    2
    x+1
    又∵OE=2PE
    ∴x=2(-
    1
    2
    x2+
    1
    2
    x+1)
    解得x1=
    		2
    ，x2=-
    		2
    （不合题意舍去），
    ∴P、D两点坐标分别为P(
    		2
    ，-
    		2
    2
    )    ，D(
    		2
    ，
    		2
    -2
    2
    )    ，
    ∴PD=
    		2
    -2
    2
    -(-
    		2
    2
    )=
    		2
    -1
    OE=
    		2

    ∴S△POD=
    1
    2
    •PD•OE=
    1
    2
    •(
    		2
    -1)•
    		2
    =
    2-
    		2
    2
    ，

    （4）P1（1，-1），P2(
    4
    5
    ，-
    27
    25
    )    ，P3(
    2
    		5
    5
    ，
    -3-
    		5
    5
    )    ，P4(-
    2
    		5
    5
    ，
    -3+
    		5
    5
    )    ．
    设D（m，
    1
    2
    m-1），
    则OD2=m2+（
    1
    2
    m    -1）2=
    5
    4
    m2-m+1，
    OC2=1，CD2=m2+（-1-
    1
    2
    m+1）2=
    5
    4
    m2，
    当OD=CD时，则
    5
    4
    m2-m+1=
    5
    4
    m2，解得m1=1，
    当OD=OC时，则
    5
    4
    m2-m+1=1，解得m2=
    4
    5
    ，
    当OC=CD时，则
    5
    4
    m2=1，解得m3=
    2
    		5
    5
    ，m4=-
    2
    		5
    5
    ，
    ∴P1（1，-1），P2(
    4
    5
    ，-
    27
    25
    )    ，P3(
    2
    		5
    5
    ，
    -3-
    		5
    5
    )    ，P4(-
    2
    		5
    5
    ，
    -3+
    		5
    5
    )    ．
    点评：本题考查了待定系数法求解析式、三角形相似的判定以及分类讨论的思想的应用．
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