Question

7．如图，∠ABC=90°，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，BC=6，AD=DC，∠ADC=60°．
（1）求AC长．
（2）求△ADC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意，在直角三角形ABC中利用AB²+BC²=AC²，即可求得AC的长；
（2）根据AD=DC，∠ADC=60°，可知三角形ACD是等边三角形且变长为8，然后求得三角形的高，再利用三角形面积公式即可求得面积．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，BC=6，
∴AB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$AC，即AB²=$\frac{7}{16}$AC²，BC²=36，
又∵AB²+BC²=AC²，
∴$\frac{7}{16}$AC²+36=AC²，36=$\frac{9}{16}$AC²，
∴AC=8，
（2）∵AD=DC，∠ADC=60°．
∴三角形ACD是等边三角形，
∴AD=DC=AC=8，
∴如图所示，过点D作三角形ACD的高于AC交于点E，
∴DE²=AD²-$\frac{A{C}^{2}}{4}$=64-$\frac{64}{4}$=16×3，
∴DE=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×8=16$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长度，此题难度不大．