Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=﹣1，则b=4；
③抛物线上有两点P（x1 ， y1）和Q（x2 ， y2），若x1＜1＜x2 ， 且x1+x2＞2，则y1＞y2；
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6 ．
其中真命题的序号是（ ）

A.①
B.②
C.③
D.④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；
②二次函数对称轴为x=﹣ =1，当a=﹣1时有 =1，解得b=3，故本选项错误；
③∵x1+x2＞2，
∴ ＞1，
又∵x1﹣1＜1＜x2﹣1，
∴Q点距离对称轴较远，
∴y1＞y2 ， 故本选项正确；
④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．

当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=﹣1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）；
则DE= = ；D′E′= = ；
∴四边形EDFG周长的最小值为 + ，故本选项错误．
故选C．