Question

1．已知，在平面直角坐标系中，⊙E与坐标轴分别交于A、B、C、D四点，OA=OE=2．点Q为第一象限⊙E上一动点．

（1）若Q（2$\sqrt{3}$+2，n），求n值．
（2）连接QC、QD，CG、DH分别平分∠QCD、∠QDC交DQ、CQ于G、H．当点Q运动的时候，CH+DG的值是否发生改变？若不变，求其值，若变化，求范围．
（3）过点Q的直线：y=$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）交⊙E于P，PM⊥AB于M，QN⊥AB于N．若PM+QN=PQ，求b的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接EQ，作QH⊥OB于H，在Rt△EQH中，利用勾股定理即可解决问题．
（2）CH+DG的值是定值．如图2中，在CD上截取一点K，使得CK=CH，CG与DH交于点M，连接EC、ED．只要证明△CMH≌△CMK，△DMG≌△DMK，推出DK=DG，得到CH+DG=CK+CK=CD=2CO，即可解决问题．
（3）如图3中，圆心坐标为（2，0），半径为4，可知圆上的点（x，y）满足（x-2）²+y²=16，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$得到$\frac{5}{4}$x²+（b-4）x+b²-12=0，设两根为x₁，x₂，
可得x₁+x₂=$\frac{4}{5}$（4-b），x₁x₂=$\frac{4}{5}$（b²-12），因为|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{25}（4-b）^{2}-\frac{16}{5}（{b}^{2}-12）}$=$\sqrt{-\frac{64}{25}{b}^{2}-\frac{128}{25}b+\frac{1216}{25}}$，所以PM+NQ=y₁+y₁=$\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+2b=$\frac{8}{5}$（b+1），由PQ=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{\frac{16}{25}（4-b）^{2}-\frac{16}{5}（{b}^{2}-12）}$=$\sqrt{-\frac{16}{5}{b}^{2}-\frac{32}{5}b+\frac{304}{5}}$，根据PM+QN=PQ，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接EQ，作QH⊥OB于H．

∵OA=OE=2，Q（2+2$\sqrt{3}$，n），
∴OH=2+2$\sqrt{3}$，EQ=EA=4，
在Rt△EQH中，∠EHQ=90°，EQ=4，EH=OH-OE=2$\sqrt{3}$，
∴QH=$\sqrt{E{Q}^{2}-E{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴n=2．

（2）CH+DG的值是定值．
理由：如图2中，在CD上截取一点K，使得CK=CH，CG与DH交于点M，连接EC、ED．

∵CG、DH分别平分∠QCD、∠QDC，
∴∠GCD=$\frac{1}{2}$QCD，∠HDC=$\frac{1}{2}$∠QDC，
∵在Rt△EOC中，∵EC=2EO，
∴∠ECO=30°，
∴∠CEO=60°，同理∠DEO=60°，
∴∠CED=120°，∠Q=$\frac{1}{2}$∠CED=60°，
∴∠MCD+∠MDC=$\frac{1}{2}$（180°-∠Q）=60°，
∴∠CMD=180°-（∠MCD+∠MDC）=120°，
∴∠CMH=∠DMG=60°，
在△CMH和△CMK中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CM}\\{∠MCH=∠MCK}\\{CH=CK}\end{array}\right.$，
∴△CMH≌△CMK，
∴∠CMH=∠CMK=60°，
∴∠DMK=∠DMG，
在△DMG和△DMK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMG=∠DMK}\\{DM=DM}\\{∠MDG=∠MDK}\end{array}\right.$，
∴△DMG≌△DMK，
∴DK=DG，
∴CH+DG=CK+CK=CD=2CO=4$\sqrt{3}$．

（3）如图3中，∵圆心坐标为（2，0），半径为4，
∴圆上的点（x，y）满足（x-2）²+y²=16，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$消去y得到$\frac{5}{4}$x²+（b-4）x+b²-12=0，设两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{4}{5}$（4-b），x₁x₂=$\frac{4}{5}$（b²-12），
∵|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{25}（4-b）^{2}-\frac{16}{5}（{b}^{2}-12）}$=$\sqrt{-\frac{64}{25}{b}^{2}-\frac{128}{25}b+\frac{1216}{25}}$，
∴PM+NQ=y₁+y₁=$\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+2b=$\frac{8}{5}$（b+1），
∵PQ=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{\frac{16}{25}（4-b）^{2}-\frac{16}{5}（{b}^{2}-12）}$=
$\sqrt{-\frac{16}{5}{b}^{2}-\frac{32}{5}b+\frac{304}{5}}$，
∵PM+QN=PQ，
∴$\frac{8}{5}$（b+1）=$\sqrt{-\frac{16}{5}{b}^{2}-\frac{32}{5}b+\frac{304}{5}}$，
整理得9b²+18b-91=0，
∴（3b+13）（3b-7）=0，
∴b=$\frac{7}{3}$或-$\frac{13}{3}$（舍弃），
∴b=$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的根与系数关系，一次函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，题目比较难，有一定的技巧性，学会把问题转化为一元二次方程，利用根与系数关系解决问题，所以中考压轴题．