Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B，P在⊙O₁上，引割线PAC与PBD．求证：PO₁⊥DC．

Answer 1

证明：延长PO₁交⊙O₁于E，交CD于M，连接AB、AE（如图）
则PE为⊙O₁的直径，
∴∠PAB+∠BAE=90°
又∠DPM=∠BAE，∠PAB=∠PDM，
∴∠DPM+∠PDM=90°，
故∠PMD=90°，
即PO₁⊥DC．
分析：延长PO₁交⊙O₁于E，交CD于M，连接AB、AE，则AE为⊙O₁的直径，于是有∠APE=∠PAB+∠BAE=90°，根据圆内接四边形的性质得，∠PAB=∠PDM，易得∠DPM+∠PDM=90°．
点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
也考查了圆内接四边形的性质．