Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30cm，AC=40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t₀．

（1）AB=50cm，AB边上的高为24cm；
（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出AB；由直角三角形的面积即可求出斜边上的高；
（2）分三种情况：
①当BD=BC=30cm时，得出2t=30，即可得出结果；
②当CD=CB=30cm时，作CE⊥AB于E，则BE=DE=$\frac{1}{2}$BD=t，由（1）得出CE=24，由勾股定理求出BE，即可得出结果；
③当DB=DC时，∠BCD=∠B，证明DA=DC，得出AD=DB=$\frac{1}{2}$AB，即可得出结果．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30cm，AC=40cm，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{3{0}^{2}+4{0}^{2}}$=50（cm）；
作AB边上的高CE，如图1所示：
∵Rt△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{40×30}{50}$=24（cm）；
故答案为：50，24；
（2）分三种情况：
①当BD=BC=30cm时，2t=30，
∴t=15（s）；
②当CD=CB=30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：
则BE=DE=$\frac{1}{2}$BD=t，
由（1）得：CE=24，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{3{0}^{2}-2{4}^{2}}$=18（cm），
∴t=18s；
③当DB=DC时，∠BCD=∠B，
∵∠A=90°-∠B，∠ACD=90°-∠BCD，
∴∠ACD=∠A，
∴DA=DC，
∴AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=25（cm），
∴2t=25，
∴t=12.5（s）；
综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论，运用勾股定理和等腰三角形的性质才能得出结果．