Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂．0），其中x₁＜x₂，与y轴交于点C（0，3），且x₁，x₂满足2（x₁+x₂）+x₁x₂-1=0．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥X轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点C（0，3），
∴当x=0时，c=3．
又∵x₁，x₂满足2（x₁+x₂）+x₁x₂-1=0，由根与系数的关系得：
x₁+x₂=b，x₁x₂=-3，
代入得：2b-3-1=0，
得b=2．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
又∵y=-x²，+2x+3=-（x-1）²+4
∴顶点D的坐标是（1，4）；

（2）令y=0，得：-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3．
故点A的坐标是（1，0），B的坐标是（3，0）．
设直线BD的解析式为y=kx+n（k≠0），
∵直线y=kx+n过点B（3，0），D（1，4），
∴，
解得：，
∴直线BD的解析式为y=-2x+6．
∵P点在线段BD上，
∴设点P的坐标为（m，-2m+6）．
又∵PM⊥X轴于点M，
∴PM=-2m+6，OM=m．
∵A（1，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3．
设四边形PMAC的面积为S，则
S=OA•OC+（PM+OC）•OM=×1×3+（-2m+6+3）•m
=-m²+m+=-（m-）²+
∵1＜＜3，
∴当m=时，四边形PMAC的面积最大，最大面积为，此时，P点坐标（，）．
分析：（1）利用根与系数的关系得出x₁+x₂=b，x₁x₂=-3，进而求出b的值，进而利用配方法得出二次函数的顶点坐标即可；
（2）利用待定系数法求出一次函数解析式，进而表示出P点坐标，利用S=OA•OC+（PM+OC）•OM结合二次函数性质得出最值以及P点坐标．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题等知识，根据已知表述出P点坐标是解题关键．