Question

如图，直线y=

3

4

x+3和x轴、y轴的交点分别为点B、A，点C是OA的中点，过点C向左方作射线CM⊥y轴，点D是线段OB上一动点，不和点B重合，DP⊥CM于点P，DE⊥AB于点E，连接PE．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）设点D的横坐标为x，△BED的面积为S，求S关于x的函数关系式；
（3）是否存在点D，使△DPE为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=0求出点A的坐标．令y=0求出点B的坐标．又因为C为AO的中点，易求C点坐标．
（2）首先用勾股定理求得AB=5．又因为点P的横坐标为x，求出OD，BD．利用三角函数求出BE，DE的值，从而求出S．
（3）存在．要使△DPE为等腰三角形，那么顶点在线段DP．DE．PE的垂直平分线上．

解答：解：（1）将x=0代入y=

3

4

x+3，得y=3，故点A的坐标为（0，3）；
∵C为OA的中点，则C点坐标为（0，1.5）；
将y=0代入y=

3

4

x+3，得x=-4，故点B的坐标为（-4，0）；
则A、B、C三点的坐标分别为（0，3），（-4，0），（0，1.5）；

（2）由（1）得OB=4，OA=3，则由勾股定理可得，AB=5．                                   
∵点P的横坐标为x，故OD=-x，则BD=4+x，
又由已知得，∠DEB=∠AOB=90°，
∴sin∠DBE=sin∠ABO=

DE

BD

=

OA

AB

=

3

5

，

DE

4+x

=

3

5

，DE=

3

5

(4+x)，
cos∠DBE=cos∠ABO=

BE

BD

=

OB

AB

=

4

5

，

BE

4+x

=

4

5

，BE=

4

5

（4+x），
∴S=

1

2

×

4

5

(4+x)×

3

5

(4+x)．
S=

6

25

(4+x)2（-4＜x≤0）．                                                   

（3）存在；符合要求的点有三个，x=0，-1.5，-

39

16

．

点评：本题考查的是一次函数的综合应用，三角函数的相关知识以及三角形面积计算．考生要注意的是要结合图象解答题目．难度中上．