Question

（2012•大丰市一模）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E．
（1）①求证：△ABE∽△ADB；②若AE=2，ED=4，求⊙O的面积；
（2）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，若AC∥FD，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）①由AB=AC可得弧AB=弧AC，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等有∠D=∠ABC，根据相似三角形的判定易得到△ABE∽△ADB；
②由△ABE∽△ADB，AB：AD=AE：AB，即AB²=AE•AD，可计算出AB=2

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，由BD为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠BAD=90°，然后根据勾股定理有BD²=AB²+AD²=12+（2+4）²=48，则可计算出BD=4

3

，再利用圆的面积公式计算即可；
（2）连接OA，可得AO⊥BC，则AB=BF=OB=OA=2

3

，可得到△OAB为等边三角形，则∠OAB=∠OBA=60°，并且有∠F=∠FAB，则∠FAB=30°，于是得到∠FAO=30°+60°=90°，即有FA⊥OA，根据切线的判定定理即可得到直线FA与⊙O相切．

解答：（1）①证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∴∠D=∠ABC，
而∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB；
②解：∵△ABE∽△ADB，
∴AB：AD=AE：AB，即AB²=AE•AD，
而AE=2，ED=4，
∴AB²=2×（2+4）=12，
∴AB=2

3

，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD²=AB²+AD²=12+（2+4）²=48，
∴BD=4

3

，
∴⊙O的面积=π（

4 3

2

）²=12π；

（2）解：直线FA与⊙O相切．理由如下：
连接OA．
∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∵BD=4

3

，
∴BF=OB=OA=2

3

，
而AB=2

3

，
∴AB=BO=OA，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
而BF=AB，
∴∠F=∠FAB，
而∠ABO=∠F+∠FAB=60°，
∴∠FAB=30°，
∴∠FAO=30°+60°=90°，
∴FA⊥OA，
∴直线FA与⊙O相切．

点评：本题考查了圆的综合题：过半径的外端并且与这条半径垂直的直线是圆的切线；在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角；熟练掌握等边三角形的性质；运用相似三角形的判定与性质和勾股定理进行几何计算．