Question

12．如图，直线y=mx+n（m≠0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）交于A、B两点，直线AB与坐标轴分别交于C、D两点，连接OA，若OA=2$\sqrt{10}$，tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，点B（-3，b）．
（1）分别求出直线AB与双曲线的解析式；
（2）连接OB，求S_△AOB．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥x轴于点E，由tan∠AOC=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{1}{3}$，设AE=x、OE=3x，结合OA=2$\sqrt{10}$利用勾股定理求得x的值，即可得出点A的坐标，从而求得反比例函数解析式，进一步求得点B的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）先求得直线AB与x、y轴的交点坐标，再根据S_△AOB=S_△COD-S_△AOC-S_△BOD可得答案．

解答 解：（1）如图，作AE⊥x轴于点E，

∵tan∠AOC=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{1}{3}$，
∴设AE=x，OE=3x，
则OA=$\sqrt{A{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$x=2$\sqrt{10}$，
∴x=2，
∴点A的坐标为（-6，2），
代入y=$\frac{k}{x}$，得：k=-12，
则反比例函数解析式为y=-$\frac{12}{x}$，
当x=-3时，y=4，
∴点B的坐标为（-3，4），
将点A（-6，2）、B（-3，4）代入y=kx+b，得：
$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=2}\\{-3k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+6；

（2）在直线y=$\frac{2}{3}$x+6中，
当x=0时，y=6，即点D（0，6），
当y=0时，$\frac{2}{3}$x+6=0，解得x=-9，即点C（-9，0），
S_△AOB=S_△COD-S_△AOC-S_△BOD
=$\frac{1}{2}$×9×6-$\frac{1}{2}$×9×2-$\frac{1}{2}$×6×3
=9．

点评 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握三角函数的定义、勾股定理、待定系数法求函数解析式及割补法求三角形的面积是解题的关键．