Question

20．如图所示，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若OE=OF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（3）若OD=OE=OF，则四边形DEBF是什么特殊的四边形，请证明．

Answer 1

分析 （1）根据AAS或ASA即可证明；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可；
（3）若OD=OE=OF，则四边形DEBF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；

解答 （1）证明：∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEO，
在△BOE和△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFO=∠BEO}\\{OF=OE}\\{∠DOF=∠EOB}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF．

（2）证明：连接DE、BF．
∵△BOE≌△DOF，
∴OD=OB，∵OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．

（3）若OD=OE=OF，则四边形DEBF是矩形．
理由：∵OD=OE=OF=OB，
∴BD=EF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，熟练掌握基本概念．