Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）利用图中条件，求出一次函数的解析式；
（3）如图，写出当x取何值时，一次函数值小于反比例函数值？
（4）坐标平面内是否存在点P，使以O、D、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，且点C（1，4），
∴k=xy=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为：y=；
当x=4时，m=y==1，
∴m=1；

（2）∵C（1，4），D（4，1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=-x+5；

（3）结合图象的可得：当0＜x＜1或x＞4是，一次函数值小于反比例函数值；

（4）存在．
如图，∵点C的坐标为：（1，4），点D的坐标为；（4，1），
∴直线OC的解析式为：y=4x，直线OD的解析式为：y=x，
∵使以O、D、P、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线P₁P₂的解析式为：y=-x①，直线P₁P₃的解析式为：y=4x-15②，直线P₂P₃的解析式为：y=x+③，
联立①②得：，联立①③得：，联立②③得：，
∴P₁（3，-3）；P₂（-3，3）；P₃（5，5）．
分析：（1）由一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，利用待定系数法即可求得此反比例函数的解析式，然后将点D（1，m）代入，即可求得m的值；
（2）由点C（1，4），D（4，1），利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（3）结合图象即可求得当x取何值时，一次函数值小于反比例函数值；
（4）首先可求得直线OC与OD的解析式，然后由O、D、P、C为顶点的四边形是平行四边形，根据平行线的性质，即可求得直线P₁P₂的解析式为：y=-x①，直线P₁P₃的解析式为：y=4x-15②，直线P₂P₃的解析式为：y=x+③，然后可求得P点的坐标．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数交点问题以及平行四边形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．