Question

如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．
（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．
（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/秒的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t秒，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）依据矩形的性质和平行线的性质，通过全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所以OP=OQ，则四边形PBQD的对角线互相平分，故四边形PBQD为平行四边形．
（2）点P从点A出发运动t秒时，AP=tcm，PD=（4-t）cm．当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=（4-t）cm．在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP²+AB²=PB²，即t²+3²=（4-t）²，由此可以求得t的值．

解答：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴∠PDO=∠QOB，
在△POD与△QOB中，

∠PDO=∠QBO OD=OB ∠POD=∠QOB

，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ，
∴四边形PBQD为平行四边形；

（2）点P从点A出发运动t秒时，AP=tcm，PD=（4-t）cm．
当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=（4-t）cm．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAP=90°，
∴在直角△ABP中，AB=3cm，AP²+AB²=PB²，即t²+3²=（4-t）²，
解得：t=

7

8

，
∴点P运动时间为

7

8

秒时，四边形PBQD能够成为菱形．

点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的性质以及菱形的性质．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．