Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点A，点C的坐标代入抛物线y=-x²+bx+c，得出抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，令-x²+2x+3=0，得点B的坐标（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得出直线BC的解析式为y=-x+3．
（2）由△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形，得出CM∥x轴，即点M的纵坐标为3，把y=3代入y=-x²+2x+3，得x=0或2，由PM⊥x轴，得出点P的横坐标为m=2．
（3）由抛物线的解析式可得出M（m，-m²+2m+3），由直线BC的解析式可得N（m，-m+3），由以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形，可得MN=OC=3，由方程-m²+2m+3-（-m+3）=3，即可得无解．

解答：解：（1）把点A（-1，0），点C（0，3）代入抛物线y=-x²+bx+c，得

0=-1-b+c 3=c

，解得

b=2 c=3

所以抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
令-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，得点B的坐标（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得

3=b 0=3k+b

，解得

k=-1 b=3

所以直线BC的解析式为y=-x+3．
（2）∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形，
∴CM∥x轴，即点M的纵坐标为3，
把y=3代入y=-x²+2x+3，得x=0或2，
∵PM⊥x轴，
∴点P的横坐标为m=2．
（3）∵抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，P的横坐标为m
∴M（m，-m²+2m+3），
∵直线BC的解析式为y=-x+3．
∴N（m，-m+3），
∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形，
∴MN=OC=3，
∴-m²+2m+3-（-m+3）=3，化简得m²-3m+3=0，无解，
不存在m这样的值．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．