Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A-F-D的方向运动到点D停止；点Q沿B-C的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm²）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s）
（1）当点P运动到点F时，CQ=

 

cm，MQ=

 

cm；
（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；
（3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）当点P运动到点F时，求出AF=FC=3cm，BQ=AF=3cm，PQ∥AC，可得出

MQ

AC

=

BQ

BC

，代入可求出MQ，得出答案；
（2）根据在点P从点F运动到点D的过程中，点P落在MQ上得出方程t+t-3=8，求出即可；
（3）求出DE=

1

2

AC=3，DF=

1

2

BC=4，证△MBQ∽△ABC，求出MQ=

3

4

x，分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，根据y=PN•PD代入求出即可；②当4≤x＜

11

2

时，重叠部分为矩形，根据图形得出y=3[（8-x）-（x-3）]；③当

11

2

≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，根据图形得出y=3[（x-3）-（8-x）]，求出即可．

解答：解：（1）当点P运动到点F时，
∵F为AC的中点，AC=6cm，
∴AF=FC=3cm，
∵P和Q的运动速度都是1cm/s，
∴BQ=AF=3cm，
∴CQ=8cm-3cm=5cm，
∵MQ⊥BC，∠ACB=90°，
∴MQ∥AC，
∴

MQ

AC

=

BQ

BC

，
即

MQ

6

=

3

8

，
∴MQ=

9

4

，
故答案为：5；

9

4

；
（2）设在点P从点F运动到点D的过程中，点P落在MQ上，如图1，
则x+x-3=8，
x=

11

2

，
BQ的长度为

11

2

×1=

11

2

（cm）；
（3）∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE=

1

2

AC=

1

2

×6=3，
DF=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∵MQ⊥BC，
∴∠BQM=∠C=90°，
∵∠QBM=∠CBA，
∴△MBQ∽△ABC，
∴

BQ

BC

=

MQ

AC

，
∴

x

8

=

MQ

6

，MQ=

3

4

x，
分为三种情况：
①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，

y=PN•PD=

3

4

x（7-x），y=-

3

4

x²+

21

4

x；
②当4≤x＜

11

2

时，重叠部分为矩形，如图3，

y=3[（8-x）-（x-3）]，即y=-6x+33；
③当

11

2

≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，

y=3[（x-3）-（8-x）]，即y=6x-33，
综上所述，当3≤x＜4时，y=-

3

4

x²+

21

4

，
当4≤x＜

11

2

时，y=-6x+33；
当

11

2

≤x≤7时，y=6x-33，
所以y与x之间的函数关系式是：y=

- 3 4 x2+ 21 4 (3≤x＜4) -6x+33(4≤x＜ 11 2 ) 6x-33( 11 2 ≤x≤7)

．

点评：本题主要考查了函数的应用及矩形、平行四边形的性质和三角形的中位线的综合应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，在第（3）中正确分类讨论是解题的关键．