Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D．
（1）求证：AE=CD；
（2）若BD=5，求AB的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）利用同角的余角相等得到一对角相等，一对直角相等，以及AC=CB，利用三角形ACE与三角形CBD全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由三角形ACE与三角形CBD全等，得到BD=EC=5，由BE=EC，得到BC的长，利用勾股定理求出AB的长即可．

解答：（1）证明：∵∠DCB+∠AEC=90°，∠DCB+∠D=90°，
∴∠AEC=∠D，
在△ACE和△CBD中，

∠AEC=∠D ∠ACE=∠CBD=90° AC=CB

，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴AE=CD；
（2）∵△ACE≌△CBD，
∴EC=BD=5，
∵E为BC的中点，
∴BE=EC=

1

2

BC=5，
∴AC=BC=10，
利用勾股定理得：AB=

52+52

=5

2

．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．