Question

已知直线y=

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x+b与抛物线y=ax²交于点A（1，-

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），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）把（1）中的抛物线向右平移2个单位，再向上平移m个单位（m＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆恰好以CQ为直径，求m的值；
（3）如图，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点A的坐标，代入抛物线y=ax²即可得出抛物线的解析式为y=-

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x2，把点A的坐标代入直线y=

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x+b，可得到直线的解析式为y=

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x-1，再运用直线与y轴交于点C．即可求出点C的坐标，
（2）由已知先求出新的抛物线的解析式，由抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆恰好以CQ为直径，得出∠CPQ=90°，即P点正好在原点上，把P的坐标代入y=-

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（x-2）²+m，即可得出m的值．
（3）存在，由抛物线平移后其对称轴是x=2．由于过P、Q的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，即点C到圆心的距离要最短，过C作CE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，则符合条件的圆是以E为圆心，EC长为半径的圆，其面积为最小值为S=πr²=4π，由已知得出新的抛物线的解析式为y=-

1

4

（x-2）²+n，设P（t，0）再由E（2，-1），PE=2，列出关于t的方程（t-2）²+1=4，解得t的值，再代入y=-

1

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（x-2）²+n，即可得到时n的值．

解答：解：（1）∵把点A（1，-

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），代入抛物线y=ax²得a=-

1

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∴抛物线的解析式为y=-

1

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x2，
∵把点A（1，-

1

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），代入直线y=

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x+b，解得b=-1，
∴直线的解析式为y=

3

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x-1，
∵直线与y轴交于点C．
∴C（0，-1）．

（2）∵把（1）中的抛物线向右平移2个单位，再向上平移m个单位（m＞0），
∴新的抛物线的解析式为y=-

1

4

（x-2）²+m，
∵抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆恰好以CQ为直径，
∴∠CPQ=90°，
∴P点正好在原点上，
把P（0，0）代入y=-

1

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（x-2）²+m，得m=1．

（3）存在最小值，如图，

理由如下：
抛物线平移后其对称轴是x=2．
由于过P、Q的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，
即点C到圆心的距离要最短，过C作CE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，
则符合条件的圆是以E为圆心，EC长为半径的圆，
其面积为最小值为S=πr²=4π，
∵抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），
∴新的抛物线的解析式为y=-

1

4

（x-2）²+n，
设P（t，0）
∵E（2，-1），PE=2，
∴（t-2）²+1=4，解得t=2-

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代入y=-

1

4

（x-2）²+n，得n=

3

4

．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．