Question

如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．（直接写出结论）AP

 

BQ，AP

 

BQ；    
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平移的性质

专题：

分析：（1）求出CQ=CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可；
（2）证明相等时思路同（1），证明垂直时，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ，借助全等得到的角相等，得出∠APC+∠PBN=90°，进一步可得出结论．

解答：解：（1）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ，理由如下：
延长BQ交AP于G，

由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，
∴∠PQC=45°=∠QPC，
∴CQ=CP，
在△BCQ和△ACP中，

BC=AC ∠BCQ=∠ACP CQ=CP

，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBQ+∠BQC=90°，
∵∠CQB=∠AQG，
∴∠AQG+∠PAC=90°，
∴∠AGQ=180°-90°=90°，
∴AP⊥BQ，
故答案为：=；⊥；

（2）成立，理由如下：
①如图，∵∠EPF=45°，
∴∠CPQ=45°，
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°，
∴CQ=CP，
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BC=AC ∠BCQ=∠ACP CQ=CP

，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS），
∴BQ=AP，
②如图3，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ，
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQC=∠APC，
在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，
∴∠APC+∠PBN=90°，
∴∠PNB=90°，
∴QB⊥AP．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，主要考查了学生的推理能力和猜想能力，题目比较好．