Question

2．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）概念理解：
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）问题探究：
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由．
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）？
（3）拓展应用：
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=$\sqrt{2}$AB，试探究BC，CD，BD的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；
（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；
②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=$\sqrt{5}$，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；
（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．

解答 解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；
（2）①正确，理由为：
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，
∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边形”是菱形；

②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=$\sqrt{5}$，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=$\sqrt{5}$，
（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；
（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=$\sqrt{5}$；
（III）当A′C′=BC′=$\sqrt{5}$时，
如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，
∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠BB′D=′∠ABB′=45°
∴B′D=B，
设B′D=BD=x，
则C′D=x+1，BB′=$\sqrt{2}$x，
∵在Rt△BC′D中，BD²+（C′D）²=（BC′）²
∴x²+（x+1）²=（$\sqrt{5}$）²，
解得：x₁=1，x₂₌-2（不合题意，舍去），
∴BB′=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD²+（C′D）²=（BC′）²，
设B′D=BD=x，
则x²+（x+1）²=2²，
解得：x₁₌$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，x₂₌$\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$（不合题意，舍去），
∴BB′=$\sqrt{2}$x=$\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$；

（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC²+CD²=2BD²，如图5，
∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，
∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，$\frac{AC}{AF}$=$\frac{AD}{AB}$=1，
∴△ACF∽△ABD，
∴$\frac{CF}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{2}$，∴$CF=\sqrt{2}$BD，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC-360°-（∠BAD+∠BCD）=360°-90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC²+FB²⁼CF²=（$\sqrt{2}$BD）²=2BD²，
∴BC²+CD²=2BD²．

点评 本题主要考查了对新定义的理解，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的性质等，理解新定义，分类讨论是解答此题的关键．