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    如图，梯形在平面直角坐标系中，上底平行于轴，下底交轴于点，点（4，），点，，．

    （1）求直线的解析式；

    （2）若点的坐标为，动点从出发，以1个单位/秒的速度沿着边向点运动（点可以与点或点重合），求的面积（）随动点的运动时间秒变化的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

    （3）在（2）的条件下，当秒时，点停止运动，此时直线与轴交于点．另一动点开始从出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由到，然后由到，再由到，最后由回到（点可以与梯形的各顶点重合）．设动点的运动时间为秒，点为直线上任意一点（点不与点重合），在点的整个运动过程中，求出所有能使与相等的的值．

    解：（1）如图，过A作AF⊥BC。

    　　

    ∵C（4，－2），∴CE=4，

    而BC=9，∴BE=5，∴B（－5，－2）．

    ∵D（1，2），∴AF=4，

    ∵sin∠ABC=，∴BF=3，∴EF=2，∴A（－2，2）．

    设直线AB的解析式为

    ∵，∴，

    ∴。

    （2）如上图，由题意：

    情况一：G在线段BE上且不与点E重合，

    ∴CE=，S=

    情况二：G在线段CE上且不与点E重合，

    ∴CE=，S=。

    情况一中的自变量的取值范围：0≤<5，

    情况二中的自变量的取值范围：5<≤9。

    （3）如下图，当秒时，GE=，

    ∴，直线GH解析式为。

    ∴N（0，1）．当点M在射线HF上时，有两种情况：

    情况一：当点P运动至点P1时，∠P1HM=∠HNE。过点P，作平行于，一轴的直线，交直线HE于点Q1，交BC于点R。

    由BP1=，sin∠ABC=，可得，BR=，P1R=，

    ∴RE=Q1R=，

    ∴P1Q1=，∴Q1H=

    由△P1Q1H∽△HEN得，

    ∴，

    ∴。

    当秒时，∠P1HM=∠HNE。

    情况二：当点P运动至点P2时，∠P2HM=∠HNE,设直线P2H与轴交于点T，直线HE与轴交于点Q2。

    此时，△Q2TH∽△EHN，∴，解得，

    ∴，

    ∴直线HT的解析式为，

    此时直线HT恰好经过点A（－2，2），

    ∴点P2与点A重合，即BP2=5，

    ∴。

    当秒时，∠P2HM=∠HNE，

    若点M在射线HE上时（点M记为点M1），有两种情况：

    情况三：当点P运动至点P3时，∠P3HM1=∠HNE。

    过点P3作平行于轴的直线P3Q3，交直线HE于点Q3，可用求P1同样的方法，

    ∴。

    当秒时，∠P3HM1=∠HNE。

    情况四：当点P运动至点P4时，∠P4HM，=∠HNE。

    可得△P4HE≌△THQ2，

    ∴P4E=TQ2=，

    ∴。

    当秒时，∠P4HM=∠HNE。

    综上所述：当秒或秒或秒或秒时，∠PHM=∠HNE。

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
    （1）①直接写出点E的坐标：
    （1，
    1
    2
    ）
    （1，
    1
    2
    ）
    ．
    ②求证：AG=CH．
    （2）如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
    （3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•门头沟区一模）阅读下面材料：
    小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．

    小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
    请回答：在图2中，∠GAF的度数是
    45°
    45°
    ．
    参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
    （1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，则BE=
    58
    7
    58
    7
    ．
    （2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（-3，2），连接AB和AO，并以AB为边向上作正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y=
    x+1
    x+1
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡水模拟）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥AO，顶点O在坐标原点，顶点A（4，0），顶点B（1，4），动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动，同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t秒．
    （1）当t为何值时，PB与AQ互相平分？
    （2）设△PAQ的面积为S，求S与t的函数关系式．当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
    （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-
    34
    x+6    分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN．点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．

    （1）求线段AC的长；
    （2）当AM∥x轴（如图2），且四边形ABCD为等腰梯形时，求D的坐标．

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