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    （2013•衡水模拟）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥AO，顶点O在坐标原点，顶点A（4，0），顶点B（1，4），动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动，同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t秒．
    （1）当t为何值时，PB与AQ互相平分？
    （2）设△PAQ的面积为S，求S与t的函数关系式．当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
    （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据已知得出0≤t≤3，过B作BD⊥OA于D，得出矩形OCBD，求出OA=OC=BD=4，BC=1，AD=3，AB=5，根据PB与AQ互相平分得出Q在BC上，根据平行四边形的性质和判定得出4-t=2t-5，求出即可；
    （2）①当0≤t＜
    5
    2
    时，点Q在线段AB上运动，OP=t．AQ=2t，过Q作QH⊥OA于H，求出QH=QA•sin∠OAB=
    8
    5
    t，求出S=-
    4
    5
    （t-2）2+
    16
    5
    ，求出当t=2时，S有最大值是
    16
    5
    ；②当
    5
    2
    ≤≤3时，求出S=
    1
    2
    •（4-t）•4=8-2t，求出当t=
    5
    2
    时，S有最大值是3，即可得出答案；
    （3）①当0≤t＜
    5
    2
    时，点Q在线段AB上运动，求出P的坐标、Q的坐标，求出PQ2=（4-
    6
    5
    t-t）2+（
    8
    5
    t）2，求出PQ的中点的横坐标是2-
    t
    10
    ，得出方程2-
    t
    10
    =
    1
    2
    PQ，代入求出即可；
    ②当
    5
    2
    ≤t≤3时，得出方程（3-
    t
    2
    ）2=
    1
    4
    （9t2-36t+52），求出即可．
    解答：解：（1）由题意得：0≤t≤3，
    过B作BD⊥OA于D，
    则四边形OCBD是矩形，
    ∵A（4，0），B（1，4），
    ∴OA=OC=BD=4，BC=1，AD=4-1=3，
    ∴AB=
    		32+42
    =5，
    若PB与AQ互相平分，则Q在BC上，四边形PABQ是平行四边形，
    ∴PA=QB，
    即4-t=2t-5，
    ∴t=3；

    （2）①当0≤t＜
    5
    2
    时，点Q在线段AB上运动，OP=t．AQ=2t，
    如图1，过Q作QH⊥OA于H，
    则QH=QA•sin∠OAB=2t•
    4
    5
    =
    8
    5
    t，
    即S=
    1
    2
    PA•QH=
    1
    2
    •（4-t）•
    8
    5
    t
    =-
    4
    5
    （t-2）2+
    16
    5
    ，
    ∵a=-
    4
    5
    ＜0，
    ∴当t=2时，S有最大值是
    16
    5
    ；
    ②当
    5
    2
    ≤≤3时，点Q在线段BC上运动，
    ∴S=
    1
    2
    •（4-t）•4=8-2t，
    ∵-2＜0，
    ∴S随t的增大而减小，
    ∴当t=
    5
    2
    时，S有最大值是3，
    综合上述，当t=2时，S有最大值是
    16
    5
    ；

    （3）①如图2，当0≤t＜
    5
    2
    时，点Q在线段AB上运动，
    由题意得：P的坐标是（t，0），Q的坐标是（4-
    6
    5
    t，
    8
    5
    t），
    PQ2=（4-
    6
    5
    t-t）2+（
    8
    5
    t）2=
    37
    5
    t2-
    88
    5
    t+16，
    PQ的中点的横坐标是（t+4-
    6
    5
    t）÷2=2-
    t
    10
    ，
    若以PQ为直径的圆与y轴相切，则2-
    t
    10
    =
    1
    2
    PQ，
    ∴（2-
    t
    10
    ）2=
    1
    4
    （
    37
    5
    t2-
    88
    5
    t+16），
    解得：t=0（舍去），t=
    50
    23
    ，
    ∵
    50
    23
    ＜
    5
    2
    ，
    ∴t=
    50
    23
    符合题意；
    ②当
    5
    2
    ≤t≤3时，即Q在线段BC上运动时，
    由题意P（t，0），Q（6-2t，4），
    PQ2=（6-2t-t）2+16=9t2-36t+52，
    PQ的中点的横坐标是
    t+6-2t
    2
    ，即3-
    t
    2
    ，
    若以PQ为直径的圆与y轴相切，则3-
    t
    2
    =
    1
    2
    PQ，
    ∴（3-
    t
    2
    ）2=
    1
    4
    （9t2-36t+52），
    解得：t=1或t=2，均不符合题意，舍去．
    综上所述，存在时刻t=
    50
    23
    ，使得以PQ为直径的圆与y轴相切．
    点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，切线的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
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