【题目】如图①,四边形ABCD、CEFG均为正方形.
(1)求证:BE=DG.
(2)如图②,四边形ABCD、CEFG均为菱形,且∠A=∠F.是否仍存在结论BE=DG,若不存在,请说明理由;若存在,给出证明.
(3)如图③,四边形ABCD、CEFG均为菱形,点E在边AD上,点G在AD延长线上.若AE=2ED,∠A=∠F,△EBC的面积为8,则菱形CEFG的面积为 .
【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形,
∴BC=CD,CE=CG,
∵∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD,
即∠BCE=∠DCG,
在△BCE和△DCG中,
,
∴△BCE≌△DCG,
∴BE=DG
(2)解:存在
理由:∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形,
∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠A,∠ECG=∠F,
∵∠A=∠F,
∴∠BCD=∠ECG,
∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD,
即∠BCE=∠DCG,
∴△BCE≌△DCG.,
∴BE=DG
(3)
【解析】解:(3)∵四边形ABCD是菱形,S△EBC=8, ∴S△AEB+S△EDC=8,
∵AE=2DE,
∴S△AEB=2S△EDC ,
∴S△EDC= ,
∵△BCE≌△DCG,
∴S△DGC=S△EBC=8,
∴S△ECG=8+ = ,
∴菱形CEFG的面积=2S△EGC= ,
所以答案是 .
【考点精析】通过灵活运用正方形的性质,掌握正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形即可以解答此题.
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【题目】猜想与证明: 如图,摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B、C、G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM,EM.
(1)试猜想写出DM与EM的数量关系,并证明你的结论. 拓展与延伸:
(2)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.
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【题目】下列说法不正确的有( )
①一个三角形至少有2个锐角;②在△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,则△ABC为直角三角形;③过n边形的一个顶点可作(n﹣3)条对角线;④n边形每增加一条边,则其内角和增加360°.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,lA,lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系.
(1)B出发时与A相距______千米.
(2)B走了一段路后,自行车发生故障,进行修理,所用的时间是______小时.
(3)B出发后______小时与A相遇.
(4)若B的自行车不发生故障,保持出发时的速度前进,______小时与A相遇,相遇点离B的出发点______千米.在图中表示出这个相遇点C.
(5)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式。
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【题目】如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
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【题目】我们规定:一列数x1,x2,x3,……,xn,从这列数的第二项数起,每一项与它前面的项的比都等于一个常数,就把这样的一列数叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.如1,2,4,8,…….这列数就是等比数列,公比是2.
(1)等比数列5,-15,45,-135,……,请计算这个等比数列的公比?
(2)若一个等比数列:-9,a,b,……,的公比是-,求a,b的值.
(3)一个等比数列的第二项是-10,第三项是-20,求这组数列的第一项和第五项.
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【题目】为了方便居民低碳出行,聊城市公共自行车租赁系统(一期)试运行.图①是公共自行车的实物图,图②是公共自行车的车架示意图,点A、D、C、E在同一条直线上,CD=30cm,DF=20cm,AF=25cm,FD⊥AE于点D,座杆CE=15cm,且∠EAB=75°.
(1)求AD的长;
(2)求点E到AB的距离.(精确到0.1cm,参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)
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【题目】解答题
(1)实验与探究
①在下列三个图中,给出菱形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),写出图(1),(2),(3)中点C的坐标,它们分别是、、;
②菱形绕原点逆时针依照(90°,2)旋转后点C对应的点C1的坐标分别是、、 . (其中(90°,2)表示旋转90°,长度扩大2倍)
(2)归纳与发现
①在图4中,给出菱形ABCD的顶点A,B,D的坐标,求出顶点C的坐标;(点C的坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示)
②菱形绕原点逆时针依照(90°,2)旋转后对应的C1的坐标为多少.
(3)运用与推广
①通过对图(1),(2),(3),(4)的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论菱形ABCD处于直角坐标系的哪个位置,当顶点坐标为:A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f)时,四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为;纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为(不必证明);
②通过顶点C的坐标和旋转后的C1的坐标探究,你会发现无论C点在哪个位置,绕原点逆时针依照(90°,n)旋转,设C(x1 , y1),C1(x2 , y2),则x1 , x2 , y1 , y2满足的等式是(不必证明).
(备注:有两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),则它们的中点P的坐标为( , ))
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