Question

已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，abc=1，求证：a、b、c中至少有一个大于

3

2

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Answer 1

分析：由a+b+c=0，得到三个实数a、b、c中必有一个正数；不妨设c＞0，这样用c表示a+b和ab，然后写出以a，b为根的一元二次方程，由△≥0得到c的范围，最后经过数的变换，确定c大于

3

2

．

解答：证明：∵a+b+c=0，
∴a、b、c必有一个正数，
不妨设c＞0，a+b=-c，ab=

1

c

．
这样a、b可看作方程x²+cx+

1

c

=0的两实根．
△=c²-4×

1

c

≥0，即c³≥4＞

27

8

，∴c＞

3	27 8

=

3

2

．
所以a、b、c中至少有一个大于

3

2

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点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了根与系数的关系．