Question

如图，已知AE、CE分别是∠BAC、∠ACD的平分线，且∠1+∠2=∠AEC．
（1）试确定直线AB、CD的位置关系；
（2）直线AE、CE互相垂直吗？若互相垂直，请给予证明；若不互相垂直，说明理由．

Answer 1

解：（1）作∠AEF=∠1，EF交AC于F，如图
∵∠BAE=∠1，
∴∠BAE=∠AEF，
∴AB∥EF．
∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠FEC=∠2．
又∵∠DCE=∠2，
∴∠FEC=∠DCE，
∴CD∥EF，
∴AB∥CD．

（2）AE⊥CE．
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°．
∵∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，
∴2∠1+2∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°．
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CE．
分析：（1）可作∠AEF=∠1，EF交AC于F，得出AB∥EF，CD∥EF，进而可得出结论；
（2）因为∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，可利用同旁内角互补得∠1+∠2=90°，进而可得垂直关系．
点评：熟练掌握角平分线的性质及平行线的判定，是解本题的关键．