Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为边AC上一个点（可以包括点C但不包括点A），以P为圆心PA为半径作⊙P交AB于点D，过点D作⊙P的切线交边BC于点E．
（1）求证：BE=DE；
（2）若PA=1，求BE的长；
（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段BE长度的取值范围为

7

8

≤BE＜

25

8

．

Answer 1

分析：（1）首先得出∠BDE+∠PDA=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PA得出∠PDA=∠A进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出ED²+PD²=EC²+CP²=PE²，求出BE即可；
（3）分别根据当D点在A点时以及当P与C重合时，求出BE的长，进而得出BE的取值范围．

解答：（1）证明：如图1，连接PD．
∵DE切⊙O于D．
∴PD⊥DE．
∴∠BDE+∠PDA=90°．
∵∠C=90°．
∴∠B+∠A=90°．
∵PD=PA．
∴∠PDA=∠A．
∴∠B=∠BDE．∴BE=DE；

（2）解：如图1，连接PE，设DE=BE=x，则EC=4-x．
∵PA=PD=1，AC=3．∴PC=2．
∵∠PDE=∠C=90°，
∴ED²+PD²=EC²+CP²=PE²．
∴x²+1=（4-x）²+2．
解得x=

19

8

．
∴BE=

19

8

；

（3）解：如图2，当D点在A点时，
∵BE=ED，设BE=ED=x，则EC=4-x，
∴EC²+AC²=AE²，
∴（4-x）²+3²=x²，
解得：x=

25

8

，
如图3，当P与C重合时，
∵BE=ED，设BE=ED=x，则EC=4-x，
∴EC²=DC²+DE²，
∴（4-x）²=3²+x²，
解得：x=

7

8

，
∵P为边AC上一个点（可以包括点C但不包括点A），
∴线段BE长度的取值范围为：

7

8

≤BE＜

25

8

．
故答案为：

7

8

≤BE＜

25

8

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．