Question

如图，矩形ABCD中，BC=2AB，P是直线CD上一动点，连BP，过P作BP的垂线，交直线AD于E，交直线BC于F，若DE=1，CF=3，则PC=________．

Answer 1

8
分析：设AB=x，则BC=2x，由矩形的性质和已知条件可得：PC²=BC•CF，DE∥CF可证明△EDP∽△FCP，由相似三角形的性质可得：，又因为AB=DP+PC，所以可建立关于x的方程，求出x的值，进而可求出PC的长．
解答：设AB=x，则BC=2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴PC⊥BF，
∵BP⊥FP，
∴PC²=BC•CF，
∵BC=2x，CF=3，
∴PC²=6x，
∴PC=，
∵DE∥CF，
∴△EDP∽△FCP，
∴，
即，
∴DP=，
∵AB=CD=DP+CP=+=x，
∴x=，
∴PC===8．
故答案为：8．
点评：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是设未知数通过图形中线段的数量关系建立方程，解方程即可，此题对学生的计算能力要求也很高．