Question

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）；
（2）求△OPQ面积S（cm²），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）证明无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形．若点P运动速度不变改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值．

Answer 1

（1）证明：∵∠AOB=90°，PM⊥OA，
∴PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB===5cm，
∵AP=1•t=t，
∴，
∴PM=t，OM=OA-AM=3-t，
∴点P的坐标为（t，3-t）；

（2）∵OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=×t×（3-t）=-t²+t
=-（t-）²+，
∴当t=时，S有最大值，最大值为；

（3）作PN⊥OB于N，
∵△OPQ为直角三角形，
∴△PON∽△QPN，
∴，
∴（3-t）²=t（t-t），
解得t₁=3，t₂=15（舍去）；

（4）∵ON=t，OQ=t，
∴0Q≠2ON，
∴无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形；
要使△OPQ为正三角形，
则0Q=2ON=t，
∴Q点的速度为cm/s，
此时3-t=t•，
解得t=．
分析：（1）先证明PM∥OB，再根据相似三角形对应边成比例证明即可；利用勾股定理求出AB的长度，而AP=t，再根据对应边成比例求出AM、PM的值，P点坐标即可得到；
（2）根据三角形的面积公式，P点纵坐标与OQ的长度的积的一半就是△OPQ面积，整理后根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）作OQ边上的高，根据△PON和△QPN相似，相似三角形对应边成比例，列式求解；
（4）根据正三角形的性质PN垂直平分边OQ，所以无论t为何值时，△OPQ都不可能为正三角形；改变Q点速度根据正三角形的性质，0Q=2ON，PN=OQ分别列式求解即可得到Q点运动速度和时间t．
点评：本题综合性较强主要利用相似三角形对应边成比例的性质，等边三角形的高与底边的性质，只要肯于动脑也不难解决．