Question

如图，直线y=-2x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，双曲线与直线AB交于P点，过B点作BC⊥y轴，交双曲线于C点，若PC=PB，则k=________．

Answer 1

-4
分析：首先过点P作PD⊥x轴，交BC于点E，由直线y=-2x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，即可得A与B的坐标，又由BC⊥y轴，易得PD⊥BC，PD∥OB，又由PB=PC，根据等腰三角形的性质，可得BE=AB，然后设P的坐标为（x，y），则点C的坐标为（2x，2），即可得方程xy=4x=k，即可求得y的值，然后利用相似三角形的对应边成比例，求得OD的长，继而求得答案．
解答：解：过点P作PD⊥x轴，交BC于点E，
∵直线y=-2x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴点A（1，0），B（0，2），
∵BC⊥y轴，
∴BC∥x轴，
∴PD⊥BC，PD∥OB，
∵PB=PC，
∴BC=2BE，
设P的坐标为（x，y），
∴BC=|2x|，
∴点C的坐标为（2x，2），
∵点P与C都在双曲线y=上，
可得：xy=4x=k，
解得：y=4，
即PD=4，
∵PD∥OB，
∴△AOB∽△ADP，
∴OA：AD=OB：PD，
∴1：AD=2：4，
解得：AD=2，
即OD=1，
∴点P的坐标为（-1，4），
∴k=xy=-1×4=-4．
故答案为：-4．
点评：此题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握辅助线的作法．