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【题目】如图,已知抛物线 (a为常数,且a0)x轴从左至右依次交于AB两点,与y轴交于点C,经过点B的直线与抛物线的另一交点为D,且点D的横坐标为5

1)求抛物线的函数表达式;

2P为直线BD下方的抛物线上的一点,连接PDPB, △PBD面积的最大值.

3)设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?

【答案】(1);(2);(3)当F坐标为(-2, )时,点M在整个运动过程中用时最少.

【解析】试题分析: (1)首先求出点AB坐标,然后求得点D坐标,代入抛物线y=ax+2)(x-4)(a为常数,且a>0),求得抛物线解析式;

(2) 设P(m, ),根据三角形的面积公式即可得解;
(3)由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+DF.作辅助线,将AF+DF转化为AF+FG;再由垂线段最短,得到垂线段AH与直线BD的交点,即为所求的F点.

试题解析(1)抛物线y0,解得x=-2x4

A(20)B(40)

∵直线经过点B(40)

,解得

∴直线BD解析式为:

x=-5时,y3

D(53)

∵点D(5 )在抛物线上,

∴抛物线的函数表达式为:

(2)P(m, )

∴△BPD面积的最大值为..

(3)DKABAHDKAH交直线BD于点F

∵由(2)得,DN,BN9,容易得∠DBA30°∴∠BDH30°

FGDF×sin30°

∴当且仅当AHDK时,AF+FH最小,

M在整个运动中用时为:t

lBD FxAx=-2F(2 )

∴当F坐标为(2 )时,用时最少.

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