Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O与AC相切于点F，⊙O的半径为2cm，AB=AC=6cm，求∠A的度数．

Answer 1

分析：（1）如图，连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只需证明OD⊥DE即可；
（2）连接OF．根据切线的性质构建直角△AFO，易求AO=2OF，故由“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得∠A=30°．

解答：（1）证明：连接OD，则OB=OD，
∴∠1=∠2．
又∵AB=AC，
∴∠1=∠C，
∴∠2=∠C，
∴OD∥AC﹒
又∵DE⊥AC，
∴半径OD⊥DE﹒
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接OF．
∵⊙O与AC相切于点F，
∴半径OF⊥AC．
又∵AB=6cm，OF=OB=2cm，
∴AO=4cm，
∴AO=2OF，
∴∠A=30°．

点评：本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质．常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．