Question

已知关于x的方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0
（1）k取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程的两个实数根x₁、x₂满足|x₁|=x₂，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程的根的判别式就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；
（2）|x₁|=x₂，即方程的两根相等或互为相反数，当两根相等时判别式△=0；当方程的两根互为相反数时，两根的和是0，利用根与系数的关系可以得到关于k的方程，然后解方程即可求出k的值．

解答：解：（1）△=[-（k+1）]²-4（

1

4

k²+1）=2k-3，
∵△≥0，即2k-3≥0，
∴k≥

3

2

，
∴当k≥

3

2

时，方程有两个实数根；
（2）由|x₁|=x₂，
①当x₁≥0时，得x₁=x₂，
∴方程有两个相等实数根，
∴△=0，即2k-3=0，k=

3

2

．
又当k=

3

2

时，有x₁=x₂=

5

4

＞0
∴k=

3

2

符合条件；
②当x₁＜0时，得x₂=-x₁，
∴x₁+x₂=0
由根与系数关系得k+1=0，
∴k=-1，
由（1）知，与k≥

3

2

矛盾，
∴k=-1（舍去），
综上可得，k=

3

2

．

点评：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）x₁+x₂=-

b

a

；
（5）x₁•x₂=

c

a

．