Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、EC、BF、CF．
（1）四边形AECD的形状是______；
（2）若CD=2，求CF的长．

Answer 1

解：（1）四边形AECD的形状是平行四边形，理由为：
∵E为AB的中点，
∴AE=EB=AB，又AB=2CD，即CD=AB，
∴DC=AE，又DC∥AE，
∴四边形AECD为平行四边形；

（2）∵四边形AECD是平行四边形，且CD=2，
∴AE=CD=2，
∵E是AB的中点，
∴AE=EB=2，AB=2CD=4，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴EC∥AD，EC=AD，又∠A=60°，
∴∠BEC=∠A=60°，
又∵AB⊥BC，
∴∠EBC=90°，
在Rt△EBC中，∠ECB=90°-60°=30°，EB=2，
∴EC=2EB=4，
∴BC==2，
∴AD=EC=4，…
∵F是AD的中点，
∴AF=2，
又∵AE=2，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=2，∠AEF=60°，
又∵∠CEB=60°，
∴∠FEC=180°-（∠AEF+∠CEB）=60°，
在△ECF和△ECB中，
∵，
∴△ECF≌△ECB（SAS），
∴FC=BC=2．
故答案为：平行四边形．
分析：（1）四边形AECD为平行四边形，理由为：由E为AB的中点，得到AE=BE=AB，又AB=2CD，即CD=AB，可得出DC=AE，又DC平行于AE，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AECD为平行四边形；
（2）由AECD为平行四边形且DC=2，得到AE=2，由E为AB的中点，得到AE=BE=2，可得出AB=4，又根据平行四边形的对边平行，得到EC与AD平行，再利用两直线平行同位角相等，由∠A为60°得到∠CEB为60°，在直角三角形EBC中，求出∠ECB为30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，根据EB的长求出EC的长，利用勾股定理求出BC的长，再由平行四边形的对边相等可得出AD=CE，求出AD的长，又F为AD的中点，求出AF=2，可得出三角形AFE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AEF为60°，又∠CEB为60°，利用平角的定义求出∠FEC为60°，即∠FEC=∠BEC，再由EF=EB，及公共边EC，利用SAS可得出三角形CFE与三角形CBE全等，根据全等三角形的对应边相等可得出CF=CB，由CB的长即可得到CF的长．
点评：此题考查了直角梯形的性质，涉及的知识有：含30°直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．