Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，M为BC的中点．⊙A的半径为3，动点O从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒．
（1）当以OB为半径的⊙O与⊙A相切时，求t的值；
（2）探究：在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A相外切？若存在，求出此时t的值及相应的⊙O的半径；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，M为BC中点
∴AM⊥BC
在Rt△ABM中，AB=10，BM=8∴AM=6．（1分）
当⊙O与⊙A相外切
可得 （t+3）²=（8-t）²+6²解得（3分）
当⊙O与⊙A相内切
可得（t-3）²=（t-8）²+6²解得（5分）
∴当或时，⊙O与⊙A相切．
（2）存在
当点O在BM上运动时（0＜t≤8））
可得（8-t）²+6²=（8-t+3）²解得（8分）
此时半径
当点O在MC上运动时（8＜t≤16））
可得（t-8）²+6²=（t-8+3）²解得（10分）
此时半径
当或时，，⊙O与直线AM相切并且与⊙A相外切．
分析：（1）在△ABC中，根据AB=AC，M为BC中点得到AM⊥BC，在Rt△ABM中，AB=10，BM=8得到AM=6．然后分当⊙O与⊙A相外切与当⊙O与⊙A相内切两种情况求得t值即可；
（2）分当点O在BM上运动时（0＜t≤8）和当点O在MC上运动时（8＜t≤16）两种情况求得t值即可．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系及勾股定理、切线的性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大．