Question

19．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，函数y=$\frac{m}{x}$ （x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4）、点B（a，b），其中a＞1，直线AB交y轴于点E．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连接DC．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：四边形ACDE为平行四边形；
（3）若AD=BC，求直线AB的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）先用待定系数法求出双曲线解析式，再用点B在双曲线上得出ab=4，再用面积建立方程$\frac{1}{2}$a（4-b）=4，解方程组即可；
（2）先求出直线AB解析式：y=bx+b+4，再确定出DE，AC即可得到DE=AC得出结论；
（3）由（2）知，AB∥CD，结合AD=BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形或矩形分两种情况计算即可．

解答 （1）将A（1，4）代入函数$y=\frac{m}{x}$中，
得m=4，
所以y=$\frac{4}{x}$；
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AM=$\frac{1}{2}$a（4-b）=4，
∵B（a，b）在函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴ab=4，
∴a=3，b=$\frac{4}{3}$，
即：点B（3，$\frac{4}{3}$）；
（2）∵函数y=$\frac{m}{x}$ （x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4），
∴m=4，
∵B（a，b）在双曲线上，
∴ab=4，
∵直线AB过点A（1，4），B（a，b），
∴直线AB解析式为y=-bx+b+4，
∴E（0，b+4），
∵BD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴D（0，b），
∴DE=b+4-b=4，
∵A（1，4），
∴AC=4，
∴DE=AC，
∵DE∥AC，
∴四边形ACDE为平行四边形；
（3）设直线AB的函数解析式为y=kx+b
∵CD∥AB，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形或等腰梯形
情况1：四边形ABCD为平行四边形
则DM=MB，
∴a-1=1，a=2，
∴B（2，2）
∵A（1，4）、B（2，2）在直线AB上，
∴直线AB解析式为：y=-2x+6，
情况2：四边形ABCD为等腰梯形，则AC=BD，
∴a=4，
∴B（4，1）
∵A（1，4）、B（4，1）在直线AB上  
直线AB解析式为：y=-x+5；
综上所述，直线AB的函数解析式为y=-2x+6或y=-x+5．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，二元一次方程组的解法，解本题的关键是判断出四边形ACDE为平行四边形．