Question

如图，抛物线y=-

1

4

x2+x+3与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴相交于点F．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P
①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；
②若r=

4

5

5

，是否存在点P使⊙P与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
提示：抛物线y=ax²+bx+x（a≠0）的顶点坐标（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴x=-

b

2a

．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式，易求得A、B、C的坐标，进而可用待定系数法求出直线BC的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，可求出顶点D的坐标，进而可根据直线BC的解析式求出E点的坐标，由此可求出DE、EF、BF的长；
①当D、P重合时，过D作DG⊥BC于G，易证得△DEG∽△BEF，由此可得到DE、EG的比例关系，进而可由勾股定理求出DE的长；若⊙P与直线BC相交，那么半径r＞DE，由此可求出r的取值范围；
②由①知：当DE=r=

4 5

5

；可过F作FM⊥BC于M，由于DE=EF=2，易证得FM=DG=r；可分别过D、F作直线BC的平行线m、n，则P点必为直线m、n与抛物线的交点，可先求出直线m、n的解析式，再分别联立抛物线的解析式，即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）抛物线y=-

1

4

x²+x+3中，
令y=0，得0=-

1

4

x²+x+3，
解得x=-2，x=6；
令x=0，得y=3；
∴A（-2，0），B（6，0），C（0，3）；
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：

6k+b=0 b=3

，
解得

k=- 1 2 b=3

∴直线BC的解析式为：y=-

1

2

x+3；

（2）由抛物线的解析式知：y=-

1

4

（x-2）²+4，
即D（2，4）；
当x=2时，y=-

1

2

x+3=-1+3=2，
即E（2，2）；
∴EF=DE=2，BF=4；
①过D作DG⊥BC于G，则△DEG∽△BEF；
∴DE：GE=BF：EF=2：1，即DG=2GE；
Rt△DGE中，设GE=x，则DG=2x，
由勾股定理，得：GE²+DG²=DE²，
即：4x²+x²=4，
解得x=

2 5

5

；
∴DG=2x=

4 5

5

；
故D、P重合时，若⊙P与直线BC相切，则r＞DG，即r≥

4 5

5

；
②存在符合条件的P点，且P点坐标为：P₁（2，4），P₂（4，3），P₃（3+

17

，

3- 17

2

），P₄（3-

17

，

3+ 17

2

）；
过点F作FM⊥BC于M；
∵DE=EF=2，则Rt△DGE≌Rt△FME；
∴FM=DG=r=

4 5

5

；
分别过D、F作直线m、n平行于直线BC，则直线m与直线BC、直线n与直线BC之间的距离都等于r；
所以P点必为直线m、n与抛物线的交点；
设直线m的解析式为：y=ax+h，由于直线m与直线BC平行，则a=-

1

2

；
∴-

1

2

×2+h=4，h=5，
即直线m的解析式为y=-

1

2

x+5；
同理可求得直线n的解析式为：y=-

1

2

x+1；
联立直线m与抛物线的解析式，
得：

y=- 1 4 x2+x+3 y=- 1 2 x+5

，
解得

x=2 y=4

，

x=4 y=3

；
∴P₁（2，4），P₂（4，3）；
同理，联立直线n与抛物线的解析式可求得：P₃（3+

17

，

3- 17

2

），P₄（3-

17

，

3+ 17

2

）；
故存在符合条件的P点，且坐标为：P₁（2，4），P₂（4，3），P₃（3+

17

，

3- 17

2

），P₄（3-

17

，

3+ 17

2

）．

点评：此题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、一次函数解析式的确定、勾股定理、相似三角形及全等三角形的性质、切线的性质等重要知识点，综合性强，难度较大．