Question

已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S_△PBC=S_△PAC+S_△PCD
理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．
∵S_△PBC+S_△PAD=

1

2

BC•PF+

1

2

AD•PE=

1

2

BC（PF+PE）=

1

2

BC•EF=

1

2

S_矩形ABCD．
（1）请补全以上证明过程．
（2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S_△PBC、S_△PAC、S_PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：（1）根据图象和面积公式求出S_△PAC+S_△PCD+S_△PAD=

1

2

S_矩形ABCD，即可得出答案；
（2）过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点，根据矩形的性质和面积公式求出S_△PBC=

1

2

BC•PF=

1

2

BC•PE+

1

2

BC•EF=S_△PAD+

1

2

S_矩形ABCD，S_△PAC+S_△PCD=S_△PAD+S_△ADC=S_△PAD+

1

2

S_矩形ABCD，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵S_△PAC+S_△PCD+S_△PAD=

1

2

S_矩形ABCD
∴S_△PBC+S_△PAD=S_△PAC+S_△PCD+S_△PAD，
∴S_△PBC=S_△PAC+S_△PCD；

（2）猜想结果：图2结论S_△PBC=S_△PAC+S_△PCD； 图3结论S_△PBC=S_△PAC-S_△PCD．
证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．

∵S_△PBC=

1

2

BC•PF=

1

2

BC•PE+

1

2

BC•EF
=

1

2

AD•PE+

1

2

BC•EF=S_△PAD+

1

2

S_矩形ABCD
S_△PAC+S_△PCD=S_△PAD+S_△ADC=S_△PAD+

1

2

S_矩形ABCD
∴S_△PBC=S_△PAC+S_△PCD．

点评：本题考查了矩形的性质和三角形的面积公式的应用，能分别求出各个三角形的面积是解此题的关键，求解过程类似，注意：矩形的对边平行且相等，