Question

已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x²-x-1=0的两个实数根，设s₁=α+β，s₂=α²+β²，…，s_n=αⁿ+βⁿ．根据根的定义，有α²-α-1=0，β²-β-1=0，将两式相加，得（α²+β²）-（α+β）-2=0，于是，得s₂-s₁-2=0．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s₁，s₂的值；
（2）猜想：当n≥3时，s_n，s_n-1，s_n-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；
（3）根据（2）中的猜想，直接写出(

1+ 5

2

)8+(

1- 5

2

)8的值．

Answer 1

分析：（1）此小题只需对x²-x=1配方解得x的值即为α，β的值，再由s₁=α+β，s₂=α²+β²求得s₁，s₂的值；
（2）此小题可猜想得到s_n=s_n-1+s_n-2，再根据根的定义证明即可；
（3）由（2）可得出(

1+ 5

2

)8+(

1- 5

2

)8即为S₈的值，依次计算求得S₈的值即可．

解答：解：（1）移项，得x²-x=1，
配方，得x2-2×x×

1

2

+(

1

2

)2=1+(

1

2

)2，
即(x-

1

2

)2=

5

4

，
开平方，得x-

1

2

=±

5

2

，即x=

1± 5

2

，
所以，α=

1+ 5

2

，β=

1- 5

2

．
于是，s₁=1，s₂=3；

（2）猜想：s_n=s_n-1+s_n-2．
证明：根据根的定义，α²-α-1=0，
两边都乘以α^n-2，得　αⁿ-α^n-1-α^n-2=0，①
同理，βⁿ-β^n-1-β^n-2=0，②
①+②，得（αⁿ+βⁿ）-（α^n-1+β^n-1）-（α^n-2+β^n-2）=0，
因为　s_n=αⁿ+βⁿ，s_n-1=α^n-1+β^n-1，s_n-2=α^n-2+β^n-2，
所以　s_n-s_n-1-s_n-2=0，
即s_n=s_n-1+s_n-2．

（3）47．
理由：由（1）知，s₁=1，s₂=3，由（2）中的关系式可得：
s₃=s₂+s₁=4，s₄=s₃+s₂=7，s₅=7+4=11，s₆=11+7=18，s₇=18+11=29，s₈=29+18=47．
即(

1+ 5

2

)8+(

1- 5

2

)8=s8=47．

点评：本题考查了配方法的应用，属于规律型的题目，比较麻烦，同学们要好好掌握．