Question

（本题满分12分）如图，已知抛物线经过点、，交轴于点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）抛物线第一象限上有一动点，过点作轴，垂足为，请求出的最大值，及此时点坐标；

（3）抛物线顶点为，轴于点，一块三角板直角顶点在线段上滑动，且一直角边过点，另一直角边与轴交于，请求出实数的变化范围，并说明理由．

Answer 1

（1）；（2）最大值为，此时点坐标为；（3），理由见解析

【解析】

试题分析：（1）基础题，将、直接代入抛物线，利用待定系数法求出两个系数，回代即可；（2）注意关键条件为第一象限内的点，假设好坐标后线段长度就可以用表示出来了，整理成二次函数的顶点式，易得最大值及取得最大值时的值，再代入求得坐标；（3）注意到在的左右两边情况不一样，故需分类讨论，结合相似三角形的性质、直角三角形的性质灵活处理，或考虑极端情况，或构造函数求最值.

试题解析：（1）将、代入抛物线，得

解得 抛物线的解析式为；

（2）设第一象限内，则，

当时，，

最大值为，此时点坐标为；

（3）对于，有 ，，

过作于点，则

①当在左侧时，有∽ 设，则，

当时， 即

②当在右侧时，中，，

当为点时，在最右边，此时

综上所述，的变化范围为.

考点：1.待敌系数法求二次函数解析式；2.二次函数的最值；3.函数性质的综合应用.