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    16．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，DE∥BC交AC于点E，作DF∥AC交BC于点F，分别记△ADE，△BDF，?DFCE，△ABC的面积为S1，S2，S3，S有以下结论：
    ①若S1=S2，则DE为△ABC的中位线；②若S1=S3，则2BC=3DE；③S=（$\sqrt{{S}_{1}}+\sqrt{{S}_{2}}$）；④S3=$\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}$
    其中正确的是①②④（把所有正确结论的序号都填上）

    分析 ①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AD=BD，求出AE=CE，即可得出答案；
    ②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AM=2MN，即可得出答案；
    ③由平行线可得对应线段成比例，再由相似三角形的面积比等于对应边的平方比，进而代入求解即可；
    ④解答本题只需画出示意图，先判断出△BFD∽△DEA，然后根据面积比等于相似比的平方得出△ABC的面积，进而根据SDECF=SABC-SADE-SDBF可得出答案

    解答 解：①、∵DE∥BC，DF∥AC，
    ∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
    ∵S1=S2，
    ∴（$\frac{AD}{AB}$）2=（$\frac{BD}{AB}$）2，
    ∴AD=BD，
    ∵DE∥BC，
    ∴AE=EC，
    ∴DE是△ABC的中位线，∴①正确；

    ②、过A作AN⊥BC于N，交DE于M，
    ∵DE∥BC，
    ∴AN⊥DE，
    ∵DE∥BC，DF∥AC，
    ∴四边形DECF是平行四边形，
    ∴DE=CF，
    ∵S1=S3，
    ∴$\frac{1}{2}×DE×AM$=CF×MN，
    ∴AM=2MN，
    ∵DE∥BC，
    ∴△ADE∥△ABC，
    ∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AM}{AN}$=$\frac{2MN}{2MN+MN}$=$\frac{2}{3}$，
    ∴2BC=3DE，∴②正确；
    ③、∵DE∥BC，DF∥AC
    ∴四边形DECF是平行四边形，
    ∴DE=CF，DF=CE，
    ∵相似三角形的面积比等于对应边的平方比，
    即$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{BD}{AB}$，
    ∴$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{S}}$+$\frac{\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{AD}{AB}$+$\frac{BD}{AB}$=1，
    ∴$\sqrt{S}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$，∴③错误；
    ④∵由题意得：△BFD∽△DEA，
    ∴可得：$\frac{BD}{AD}$=$\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}$（面积比等于相似比的平方），
    ∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}}{1+\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}}$，设$\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}$=x，
    ∵SABC=S，
    ∴$\frac{{S}_{2}}{S}$=（$\frac{BD}{AB}$）2，
    ∴可得S=S1+S2+2S1$\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}$，
    又∵△ADE、△DBF的面积分别为S1和S2，
    ∴SDECF=SABC-SADE-SDBF=2S1$\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}$=2$\sqrt{{S}_{1}•{S}_{2}}$，∴④正确；
    故答案为：①②④．

    点评 本题考查了面积及等积变换、相似三角形的性质和判定等，难度适中，对于此类题目要先根据相似得出比例式，然后根据比例的性质得出要求图形的面积表达式，进而得出答案．

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