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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+12x﹣30的顶点为A,对称轴AB与x轴交于点B.在x上方的抛物线上有C、D两点,它们关于AB对称,并且C点在对称轴的左侧,CB⊥DB.

(1)求出此抛物线的对称轴和顶点A的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找出点Q,使它到A、C两点的距离相等,并求出点Q的坐标;
(3)延长DB交抛物线于点E,在抛物线上是否存在点P,使得△DEP的面积等于△DEC的面积?若存在,请你直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为 ,顶点坐标为

【答案】
(1)

解:∵y=﹣x2+12x﹣30=﹣(x﹣6)2+6

∴此抛物线的对称轴为x=6,顶点A的坐标(6,6).


(2)

解:

∵C、D关于AB对称,

∴BC=BD,CD∥x轴;

又∵CB⊥DB,

∴△BCD是等腰直角三角形,

∴∠DCB=45°,即△BCG为等腰直角三角形,CG=BG;

设点C的横坐标为a,则CG=6﹣a,BG=CG=6﹣a,即C(a,6﹣a),代入y=﹣x2+12x﹣30,得:

6﹣a=﹣a2+12a﹣30,解得:a1=4、a2=9(舍)

∴C(4,2);

设Q(6,m),则AQ=6﹣m,CQ=

∵AQ=CQ,

∴6﹣m=

解得m=

∴Q(6, ).


(3)

解:

设直线DE的解析式:y=kx+b,代入D(8,2)、B(6,0),得:

解得

故直线DE:y=x﹣6;

若△DEP的面积等于△DEC的面积,则点C、P到直线DE的距离相等;

①过点C作直线l1∥DE,可设其解析式为:y=x+b1,代入C(4,2)解得:b1=﹣2;

即:直线l1 y=x﹣2,联立抛物线的解析式有:

解得

故P1(7,5).

②过点D作DF∥CB,交x轴于点F,则四边形DCBF为平行四边形,且有:DF⊥DE,BF=CD=4,即F(10,0);

过点F作直线l2∥DE,同①易求得直线l2:y=x﹣10,联立抛物线的解析式,有:

解得

故P2 )、P3 ).

综上,符合条件的点P的坐标为P1(7,5)、P2 )、P3 ).


【解析】(1)将已知的抛物线解析式化为顶点式,即可得到抛物线对称轴方程以及顶点的坐标.(2)此小题首先要求出点C的坐标;对于Rt△CBD来说,C、D关于抛物线对称轴对称,则CB=BD,那么△CBD是等腰直角三角形,若设抛物线对称轴与CD的交点为G,那么△BCG也是等腰直角三角形,可先设出点C的横坐标,再由Rt△BCG的特殊形状表示出点C的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出点C的坐标.抛物线对称轴已知,设出点Q的纵坐标后,依坐标系两点间的距离公式表示出CQ、AQ的长,由CQ=AQ列出方程求出点Q的坐标.(3)若△DEP、△DEC的面积相等,那么点P与点C到直线DE的距离相同;
①过点C作平行于DE的直线,该直线与抛物线的交点为符合条件的点P,此时点P、C到直线DE的距离相同;
②过点D作DF∥BC,交x轴于点F,此时四边形DCBF是平行四边形,那么DF⊥DE,且DF=BC,那么过点F与直线DE平行的直线与抛物线的交点也是符合条件的点P.

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(2)在数轴上,若点M表示的数是m,点N所表示的数是n,点P是线段MN的中点.

若点P表示的数是1,则mn可能的值是   (填写符合要求的序号);

im=0,n=2;(iim=﹣5,n=7;(iiim=0.5,n=1.5;(ivm=﹣1,n=2

直接用含mn的代数式表示点P表示的数.

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芯片
配套方案
打印机

C

D

E

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(B,C)

(B,D)

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