【题目】如图,抛物线y=﹣x2+12x﹣30的顶点为A,对称轴AB与x轴交于点B.在x上方的抛物线上有C、D两点,它们关于AB对称,并且C点在对称轴的左侧,CB⊥DB.
(1)求出此抛物线的对称轴和顶点A的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找出点Q,使它到A、C两点的距离相等,并求出点Q的坐标;
(3)延长DB交抛物线于点E,在抛物线上是否存在点P,使得△DEP的面积等于△DEC的面积?若存在,请你直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为 ,顶点坐标为 .
【答案】
(1)
解:∵y=﹣x2+12x﹣30=﹣(x﹣6)2+6
∴此抛物线的对称轴为x=6,顶点A的坐标(6,6).
(2)
解:
∵C、D关于AB对称,
∴BC=BD,CD∥x轴;
又∵CB⊥DB,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴∠DCB=45°,即△BCG为等腰直角三角形,CG=BG;
设点C的横坐标为a,则CG=6﹣a,BG=CG=6﹣a,即C(a,6﹣a),代入y=﹣x2+12x﹣30,得:
6﹣a=﹣a2+12a﹣30,解得:a1=4、a2=9(舍)
∴C(4,2);
设Q(6,m),则AQ=6﹣m,CQ=
∵AQ=CQ,
∴6﹣m= ,
解得m=
∴Q(6, ).
(3)
解:
设直线DE的解析式:y=kx+b,代入D(8,2)、B(6,0),得:
,
解得
故直线DE:y=x﹣6;
若△DEP的面积等于△DEC的面积,则点C、P到直线DE的距离相等;
①过点C作直线l1∥DE,可设其解析式为:y=x+b1,代入C(4,2)解得:b1=﹣2;
即:直线l1 y=x﹣2,联立抛物线的解析式有:
,
解得 、
故P1(7,5).
②过点D作DF∥CB,交x轴于点F,则四边形DCBF为平行四边形,且有:DF⊥DE,BF=CD=4,即F(10,0);
过点F作直线l2∥DE,同①易求得直线l2:y=x﹣10,联立抛物线的解析式,有:
,
解得 、
故P2( , )、P3( , ).
综上,符合条件的点P的坐标为P1(7,5)、P2( , )、P3( , ).
【解析】(1)将已知的抛物线解析式化为顶点式,即可得到抛物线对称轴方程以及顶点的坐标.(2)此小题首先要求出点C的坐标;对于Rt△CBD来说,C、D关于抛物线对称轴对称,则CB=BD,那么△CBD是等腰直角三角形,若设抛物线对称轴与CD的交点为G,那么△BCG也是等腰直角三角形,可先设出点C的横坐标,再由Rt△BCG的特殊形状表示出点C的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出点C的坐标.抛物线对称轴已知,设出点Q的纵坐标后,依坐标系两点间的距离公式表示出CQ、AQ的长,由CQ=AQ列出方程求出点Q的坐标.(3)若△DEP、△DEC的面积相等,那么点P与点C到直线DE的距离相同;
①过点C作平行于DE的直线,该直线与抛物线的交点为符合条件的点P,此时点P、C到直线DE的距离相同;
②过点D作DF∥BC,交x轴于点F,此时四边形DCBF是平行四边形,那么DF⊥DE,且DF=BC,那么过点F与直线DE平行的直线与抛物线的交点也是符合条件的点P.
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【题目】阅读材料:
如图①,若点B把线段分成两条长度相等的线段AB和BC,则点B叫做线段AC的中点.
回答问题:
(1)如图②,在数轴上,点A所表示的数是﹣2,点B所表示的数是0,点C所表示的数是3.
①若A是线段DB的中点,则点D表示的数是 ;
②若E是线段AC的中点,求点E表示的数.
(2)在数轴上,若点M表示的数是m,点N所表示的数是n,点P是线段MN的中点.
①若点P表示的数是1,则m、n可能的值是 (填写符合要求的序号);
(i)m=0,n=2;(ii)m=﹣5,n=7;(iii)m=0.5,n=1.5;(iv)m=﹣1,n=2
②直接用含m、n的代数式表示点P表示的数.
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【题目】某电脑店有A、B两种型号的打印机和C、D、E三种芯片出售.每种型号的打印机均需要一种芯片配套才能打印.
(1)下列是该店用树形图或列表设计的配套方案,①的位置应填写 , ②的位置应 填写
(2)若仅有B型打印机与E种芯片不配套,则上面(1)中的方案配套成功率是
芯片 | C | D | E |
A | (A,C) | (A,D) | ② |
B | (B,C) | (B,D) | (B,E) |
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,CO⊥AB于点O,CD是⊙O的切线,切点为D.连接BD,交OC于点E.
(1)求证:∠CDE=∠CED;
(2)若AB=13,BD=12,求DE的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=ADAB;
(3)若⊙O的半径为2,∠ACD=30°,求图中阴影部分的面积.
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【题目】骰子是一种特别的数字立方体(如图),它符合规则:相对两面的点数之和总是7,下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是( ).
A. B. C. D.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是弦.
(1)请你按下面步骤画图(画图或作辅助线时先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑); 第一步,过点A作∠BAC的角平分线,交⊙O于点D;
第二步,过点D作AC的垂线,交AC的延长线于点E.
第三步,连接BD.
(2)求证:AD2=AEAB;
(3)连接EO,交AD于点F,若5AC=3AB,求 的值.
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