Question

阅读理解
对于任意正实数a，b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a+b-2

ab

≥0，∴a+b≥2

ab

，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2

ab

（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2

p

只有当a=b时，a+b有最小值2

p

．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=

 

时，m+

1

m

有最小值

 

．
（2）探索应用
如图，已知A（-2，0），B（0，-3），P为双曲线y=

6

x

（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

（3）实践应用
建筑一个容积为800m³，深为8m的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为80元，池底每平方米造价为120元，如何设计池底的长、宽，使总造价最低？

Answer 1

分析：（1）根据题目给出的结论，可知当m=

1

m

，即m=1（m＞0）时，m+

1

m

有最小值；
（2）若设P（x，

6

x

），则S_{四边形ABCD}=

1

2

CA×DB=

3

2

（x+

4

x

）+6，利用题目给出的结论，可知当x=

4

x

，即x=2（x＞0）时，S_{四边形ABCD}有最小值，并求出各边长度，从而判断四边形ABCD的形状；
（3）根据长方体的体积公式，可知此长方体蓄水池的底面积为100m²，如果设池底的一边为xm，那么另一边为（

100

x

）m，根据长方体的表面积公式列出总造价y与x的函数关系式，再利用题目给出的结论，求出结果．

解答：解：（1）阅读理解：1（写

1

m

不扣分），2（2分）

（2）探索应用：
设P（x，

6

x

），则C（x，0），D（0，

6

x

），（4分）
∴CA=x+2，DB=

6

x

+3，（5分）
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

CA×DB=

1

2

（x+2）（

6

x

+3）=

3

2

（x+

4

x

）+6（6分）
∵x＞0∴x+

4

x

≥2

x• 4 x

即x+

4

x

≥4，∴x+

4

x

有最小值4，
此时

3

2

（x+

4

x

）+6有最小值12．
只有当x=

4

x

时，即x=2时，等号成立．
∴四边形ABCD面积的最小值为12．（7分）
此时，P（2，3），C（2，0），D（0，3），AB=BC=CD=DA=

13

，
∴四边形ABCD是菱形．（8分）

（3）实践应用：
设池底的一边为xm，另一边为（

100

x

）m，
根据题意得y=80×2×（x+

100

x

）×8+12000=1280（x+

100

x

）+12000
当x=

100

x

即x=10时，x+

100

x

≥2

x• 100 x

即x+

100

x

≥20，
此时x+

100

x

有最小值20，y有最小值37600元．
池底一边为10m时，使总造价最低．（10分）

点评：本题考查了学生的阅读理解能力与分析、解决实际问题的能力，是近几年中考的热点．透彻理解及灵活运用题目给出的结论是解决本题的关键．