Question

8．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'．
（1）△AEE'是等腰直角三角形，请说明理由；
（2）过点A画AH垂直于EE'，求EE′、AH．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得AD=AB，∠DAB=90°，∠D=90°，在Rt△ADE中利用勾股定理可计算出AE=$\sqrt{10}$，由于△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，
根据旋转的性质得∠EAE′=∠DAB=90°，E′A=EA，则可判断△EAE′为等腰直角三角形；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到EE′=$\sqrt{2}$EA，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）等腰直角三角形．
理由：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，∠D=90°，
在Rt△ADE中，DE=1，AD=3，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，
∴∠EAE′=∠DAB=90°，E′A=EA，
∴△EAE′为等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
（2）∵△EAE′为等腰直角三角形，
∴EE′=$\sqrt{A{E}^{2}+AE{′}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵S_△AEE'=$\frac{1}{2}$AE•AE′=$\frac{1}{2}$EE′•AH，
∴EE'•AH=AE•AE'，
即 2$\sqrt{5}$•AH=$\sqrt{10}$•$\sqrt{10}$，
∴AH=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质．