如图.在边长为24cm的正方形纸片ABCD上.剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形.再沿图中的虚线折起.折成一个长方体形状的包装盒(A.B.C.D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E.F在AB边上.是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=BF=x(cm)．(1)若折成的包装盒恰好是个正方体.试求这个包装盒的体积V,(2)某� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2012•无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

分析：（1）根据已知得出这个正方体的底面边长NQ=ME=

x，EF=

ME=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；
（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．

解答：

解：（1）根据题意，设AE=BF=x（cm），折成的包装盒恰好是个正方体，
知这个正方体的底面边长NQ=ME=QE=QF=

x，故EF=

ME=2x，
∵正方形纸片ABCD边长为24cm，
∴x+2x+x=24，
解得：x=6，
则正方体的底面边长a=6

，
V=a³=(6

)3=432

（cm³）；
答：这个包装盒的体积是432

cm³；

（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=

x，h=

24-2x

(12-x)，
∴S=4ah+a²=4

x•

（12-x）+(

x)2=-6x²+96x=-6（x-8）²+384，
∵0＜x＜12，
∴当x=8时，S取得最大值384cm²．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，根据已知得出正方体的边长x+2x+x=24是解题关键．

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