Question

（2012•无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（　　）

• A．等于4

  2

• B．等于4

  3

• C．等于6
• D．随P点位置的变化而变化

Answer 1

分析：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OA：OD，即（r+x）：1=9：（r-x），求出r²-x²=9，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．

解答：解：连接NE，
设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，
∵以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，
∴OA=4+5=9，0B=5-4=1，
∵AB是⊙M的直径，
∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠BOD=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°，
∵∠PBA=∠OBD，
∴∠PAB=∠ODB，
∵∠APB=∠BOD=90°，
∴△OBD∽△OCA，
∴

OC

OB

=

OA

OD

，
即

r+x

1

=

9

r-x

，
（r+x）（r-x）=9，
r²-x²=9，
由垂径定理得：OE=OF，OE²=EN²-ON²=r²-x²=9，
即OE=OF=3，
∴EF=2OE=6，
故选C．

点评：本题考查了勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OE=OF和r²-x²=9，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．