Question

9．如图，直线y=x与反双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限交于点A，AB⊥x轴于B（2，0），点C是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象上一动点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）①若△OBC的面积为1，求△AOC的面积．
②在①的条件下，根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点A、C的一次函数的函数值小于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数值．

Answer 1

分析 （1）根据点A的横坐标为2，即可得到A（2，2），再代入双曲线y=$\frac{k}{x}$，可得反比例函数的解析式．
（2）①过C作CD⊥x轴于D，根据△OBC的面积为1，求得CD=1，进而得到C（4，1），再根据S_△AOC+S_△COD=S_△AOB+S_{四边形ABDC}，即可得到△AOC的面积．
②根据在第一象限内经过点A、C的一次函数的函数值小于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数值，即可得到x的取值范围．

解答 解：（1）∵AB⊥x轴于B（2，0），
∴点A的横坐标为2，
在直线y=x中，当x=2时，y=2，
∴A（2，2），
把A（2，2）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$，可得
k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）①如图，过C作CD⊥x轴于D，

当△OBC的面积为1时，$\frac{1}{2}$OB×CD=1，
∴$\frac{1}{2}$×2×CD=1，即CD=1，
当y=1时，1=$\frac{4}{x}$，
∴x=4，即C（4，1），
∵S_△AOC+S_△COD=S_△AOB+S_{四边形ABDC}，
∴S_△AOC+$\frac{1}{2}$|4|=$\frac{1}{2}$|4|+$\frac{（1+2）×2}{2}$，
∴S_△AOC=3；
②由图可得，第一象限内，当x满足：0＜x＜2或x＞4时，经过点A、C的一次函数的函数值小于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数值．

点评 本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与一次函数的交点问题，从函数的角度看，就是寻求使一次函数值大于（或小于）反比例函数值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合．