Question

1．等边三角形ABC和等腰三角形ABD按如图所示的位置摆放，∠DAB=90°，AC与BD相交于点E，F为AD上一点，连接EF，CF，CF与BD交于点P，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H．已知∠ECF=45°．
（1）求证：△CDE≌△DCF；
（2）试判断CD与EF之间的位置关系，并说明理由；
（3）求$\frac{DG}{BH}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先证明AC=AD，推出∠ADC=∠ACD，再根据∠ADB=∠ACF=45°，即可推出∠FCD=∠EDC，由此即可证明；
（2）结论：EF∥CD．只要证明∠AFE=∠ADC即可；
（3）设AB=BC=AC=AD=a，求出DG，BH即可解决问题；

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AB=AD，∠DAB=90°，
∴AD=AC，∠ADB=∠ACF=45°，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠FCD=∠EDC，
在△CDE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠CDF}\\{CD=DC}\\{∠CDE=∠FCD}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△DCF．

（2）解：结论：EF∥CD．
理由：∵△CDE≌△DCF，
∴DF=CE，
∵AD=AC，
∴AF=AE，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠ADC=∠ACD，∠EAF+2∠AFE=180°，∠DAC+2∠ADC=180°，
∴∠AFE=∠ADC，
∴EF∥CD．

（3）解：设AB=BC=AC=AD=a，
∵DG⊥AC，BH⊥AC，
在Rt△ADG中，∠DAG=∠DAB-∠CAB=90°-60°=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△ABH中，BH=AB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴$\frac{DG}{BH}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的判定、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由参数解决问题，属于中考压轴题．