Question

10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　）

• A． 5步
• B． 6步
• C． 8步
• D． 10步

Answer 1

分析 由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为r，利用面积相等可得到关于r的方程，可求得内切圆的半径，则可求得内切圆的直径．

解答 解：
如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=15，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=17，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×8×15=60，
设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，
设内切圆的半径为r，
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=$\frac{1}{2}$×r（AB+BC+AC）=20r，
∴20r=60，解得r=3，
∴内切圆的直径为6步，
故选B．

点评 本题主要考查三角形的内切圆，连接圆心和切点，把三角形的面积分成三个三个角形的面积得到关于r的方程是解题的关键．