Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是线段BC上的一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．
（1）当点D运动到BC的中点时，DE+DF=

24

5

；
（2）设BD=x，四边形AEDF的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②问线段DE+DF的长是否随着D的移动而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出这一定值．

Answer 1

分析：（1）首先连接AD，由等腰三角形的性质，易求得BD=CD=3，AD⊥BC，继而求得AD的长，则可求得DE与DF的长；
（2）①首先作AH⊥BC于点H，可求得BH=CH=3，AH=4，然后设BD=x，可表示出DE与BE的长，继而求得y与x的函数关系式；
②利用三角形的面积，即可求得这一定值．

解答：解：（1）连接AD，
∵AB=AC=5，BC=6，点D运动到BC的中点，
∴BD=CD=3，AD⊥BC，
∴AD=

AB2-BD2

=4，
∴DE=

AD•BD

AB

=

12

5

，
同理：DF=

12

5

，
∴DE+DF=

24

5

；
故答案为：

24

5

；

（2）①作AH⊥BC于点H，则BH=CH=3，AH=

52-32

=4，
∴cosB=

3

5

，sinB=

4

5

；
设BD=x，则DE=x•sinB=

4x

5

，BE=x•cosB=

3x

5

，
∴S_△BED=

1

2

•

4x

5

•

3x

5

=

6x2

25

，
同理：S_△CDF=

6(6-x)2

25

，
∴四边形AEDF的面积=

1

2

×6×4-

6

25

x2-

6

25

(6-x)2=-

12

25

(x-3)2+

192

25

；

②DE+DF的值是定值．
连结AD，则△ABC的面积=

1

2

AB•DE+

1

2

AC•DF=

1

2

BC•AH，
∴DE+DF=

4×6

5

=

24

5

．

点评：此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．