Question

如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．

Answer 1

（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
又∵∠GAE=∠CAE，AE=AE，
∴△AGE≌△ACE．
∴GE=EC．
∵BD=CD，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．

（2）解：BF=（AB-AC）．理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF=DE=BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG=AC，
∴BF=（AB-AG）=（AB-AC）．
分析：（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE=EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF=DE=BG，再证明AG=AC，可得到BF=（AB-AG）=（AB-AC）．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE=EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．